Скрины из соцсетей от АРОН за 09 марта 2021 (1 фото)

Кстати, да. Возможен и такой вариант. Если рассматривать ворота (кассу), как объект (точку в пространстве), условно обозначенный на условной же схеме координатами "Ворота" или "Касса", то можно сказать, что он стоит "НА точке...". Тогда допустимо выражение: Стоит НА точке "Касса". Или сокращённо: НА "Кассе" (НА "Воротах"). Но обязательно в кавычках.

Никаких кавычек не нужно. В русском языке есть сложившиеся выражения. Хотя бы то же: "на Украине".
"Стоят тарелки" тоже только недолеланные филологи говорят? А как вам: "Трещал мороз"?

Таким филологам только в кассу

Может и ЗА кассой может и НА кассе, и так и так правильно, но по смыслу не одно и тоже.
"Женщина за кассой" - это "женщина, сидящая за кассой", сравнить: человек за рулем. Творительный падеж с предлогом ЗА обозначает область действия глагола (в данном случае место нахождения работника). Такое выражение уместно в художественных текстах, а также в разговорной речи.
"Женщина на кассе" - это, скорее, деловой стиль, обозначение профессии, сравнить: секретарь на "ресепшн", на телефоне. Здесь мы имеем разновидность местного (предложного) падежа, который определяет сферу трудовой и общественной деятельности: стоять на посту, на часах. Существительное с предлогом НА обозначает не физическое место нахождения сотрудника, а указывает его должность.
Да и ездят люди на в транспорте, а на транспорте...

если моряки ходят то почему капитан дальнего плавания?